Методическая Разработка Урока «Производная и её применение»

Методическая разработка урока по математике
Тема: "Производная и её применение"

Серикова Мария Георгиевна, преподаватель математики

Разделы: Виртуальная выставка методических разработок уроков

ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА УРОКА

Тема урока: «Производная и её применение»

Цели урока:

Обучающая. Повторение основных формул и правил дифференцирования, геометрический и физический смысл производной; применение производной к исследованию функции, нахождению наибольшего и наименьшего значения функции; знакомство с историей открытия производной; основными направлениями применения производной в разных областях науки и техники. Овладение универсальными учебными действиями и метапредметными умениями по теме «Производная и её применение» .

Развивающая. Развитие умений применять знания в конкретной ситуации; развитие логического мышления, развитие монологической речи, умение работать в проблемной ситуации; развитие умения сравнивать, обобщать, правильно формулировать задачи и излагать мысли

Воспитательная. Формирование у учащихся ответственного отношения к учению; умение работать в коллективе, взаимопомощи, культуры общения; воспитание таких качеств характера, как настойчивость в достижении цели; развитие устойчивого интереса к математике; создание положительной внутренней мотивации к изучению математики.

 Задача: закрепить умение применять производную для решения различных задач.

Оборудование:

  1. Презентация об истории производной
  2. Компьютер, экран

Этапы урока:

  1. Организационный момент (Целеполагание и мотивация).
  2. Актуализация опорных знаний.
  3. «Открытие» новых знаний. История производной.
  4. Подведение итогов урока (Рефлексия результативности, настроения)

                                       Ход урока

  1. Организационный момент

Приветствие: Здравствуйте, ребята! Вы неоднократно задавали мне вопрос: зачем вам изучать математику и как вам пригодятся эти знания? Сегодня я хотела бы поговорить с вами на эту тему и попробовать доказать, что знания по математике мы можем применять для изучения других предметов.

Обсуждение темы занятия.

Итак, сегодня на уроке мы поговорим о производной, о её применении.

Всем известно высказывание «Мал золотник да дорог». Одним из таких «золотников» в математике является производная. Производная применяется при решении многих практических задач математики, физики, химии, биологии, географии, экономики и других дисциплин. Она позволяет решать задачи просто, красиво, интересно.

Сообщение цели урока.

Цель нашего урока – повторить основные формулы и правила дифференцирования, узнать основные направления применения производной в разных областях науки и техники. Рассмотрим на примерах решения задач, как применяется производная в математике, химии, физике, биологии, географии, экономике.

2.Актуализация опорных знаний

Приступаем к повторению основных направлений применения производной, проверим нашу готовность к вычислению производных. Решим небольшой тест на повторение основных формул производной.

Расположите буквы, соответствующие вашим ответам по порядковым номерам.

Какое получилось слово? ФЛЮКСИЯ!

Исаак Ньютон пришёл к открытию дифференциального исчисления при решении задач о скорости движения материальной точки в данный момент времени (мгновенной скорости). Исаак Ньютон называл производную функцию флюксией, а саму функцию – флюентой. Свои результаты в этой области Ньютон изложил в трактате, названным им «Метод флюксий и бесконечных рядов», но его трактат был опубликован лишь посмертно в 1736 г.

Ребята, мы повторили основные формулы для нахождения производной различных функций. Как мы это использовали эти знания в дальнейшем курсе математики?

  • нахождение максимума и минимума функции (построение графиков)
  • вывод уравнения касательной
  • нахождение углового коэффициента к графику функции

Давайте повторим выполнение этих заданий.
Найдите экстремумы функции f(x) = x3+ 6x2
Решение: f ′(x) = 3х2 + 12х
f ′(x) = 0 ; 3х2 + 12х = 0 ; 3х(х + 4) = 0 ; х1= 0 ; х2 = - 4.

При помощи вспомогательного рисунка определяем максимум и минимум. Х=-4 – максимум; х=0 – минимум.

Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) = x2- 4x + 7 в точке графика с абсциссой х0= 1.

Решение: Уравнение касательной .

у = 12 - 4∙1 + 7 = 4
f ′(x) = 2x – 4
f ′(x0) = 2∙1 – 4 = - 2
y – 4 = - 2(x-1)
Ответ: y = - 2x + 6.

Найдите tg α, угла наклона касательной к графику функции f(x) = 2x2+ 8x – 3 в точке х0=-3

Решение: f ′(х) = 4х + 8; tg α = f ′(-3) = 4∙(-3) + 8 = - 4. Ответ: - 4.

3.«Открытие» новых знаний. История производной.

Презентация на тему истории возникновения производной, подготовленная одним из учащихся. См. приложение.

Ньютон первый создал основы дифференциального и интегрального исчислений, создал основы теории всемирного тяготения, новую теорию света и цветов.

В его трудах по математике приведено решение таких вопросов, как нахождение экстремумов функций, точек перегиба, уравнений касательных и приведены методы решения простейших дифференциальных уравнений.

В 1690 году Ньютон был избран членом Академии Наук в Париже. Интересно, что Исаак Ньютон был так же и богословом. Он написал труды о Святой Троице, а также толкование на книгу пророка Даниила. Интересно, что он высоко ценил именно свои богословские сочинения. Всегда, произнося имя Божие, Ньютон снимал шляпу.

Исчисление созданное Ньютоном и Лейбницем, получило название дифференциального исчисления. С его помощью был решен целый ряд задач теоретической механики, физики и астрономии.

В частности, используя методы дифференциального исчисления, ученые предсказали возвращение кометы Галлея, что было большим триумфом науки XVIII в. Известный учёный Галилео Галилей посвящает целый трактат роли производной в математике. Важную роль в изучении производной сыграл Леонард Эйлер, написавший учебник «Дифференциальное исчисление».

Основные понятия дифференциального исчисления долгое время не были должным образом обоснованы. Однако в начале XIX в. французский математик О. Коши дал строгое построение дифференциального исчисления на основе понятия предела.

Применяемая сейчас система обозначений для производной восходит к Лейбницу и Лагранжу.

Теперь давайте поговорим, как умение находить производную поможет нам решать задачи на других предметах. Например, для чего ученым необходимо уметь находить максимумы и минимумы функции?

  • Инженеры и технологи стараются так организовать производство, чтобы выпускать как можно больше продукции
  • Конструкторы пытаются разработать прибор для космического корабля так, чтобы масса прибора была наименьшей
  • Экономисты стараются спланировать связи завода с источниками сырья так, чтобы транспортные расходы оказались минимальны.

Задача: Материальная точка движется прямолинейно по закону: х(t)= -2+4t+3t2. Найдите ее скорость и ускорение в момент времени t=2 сек.

Решение: 1 способ, используя знания по физике.

Х= x0 +v0t+ , x0=-2, v0=4, t=2; х=-2+4*2+3*22=18м; 18=-2+4*2+ ; а=6м/с2

V=v0+at=4+12=16м/с.

2 способ: при помощи производной: х,(t)=4+6t=16м/с, х,,(t)= 6 м/с2

Вопрос к группе: какой из способов более короткий и рациональный? Вывод: решение через производную гораздо более рациональное.

Теперь, давайте решим задачи по физике, электротехнике, химии, используя производную.

Задача №1 (физика):      Мама с дочкой гуляли в парке. Девочка захотела покататься на каруселях, а мама решила сфотографировать дочку. Вращение карусели совершается по закону               F(t)=  - . Фотография может быть хорошего качества только при ускорении 3 м/с2.          В какой момент времени необходимо сделать снимок?

Решение: Производной пути является скорость, производная скорости – это ускорение:

F//(t)=a= t – 5, 3= = t – 5, t=12 c. Ответ: 12 секунд.

Задача №2 (электротехника): Заряд, протекающий через проводник, меняется по закону q= sin(2t – 10). Найти силу тока в момент времени t= 5 c.

Решение: Производной заряда по времени является сила тока. q/=2cos(2t-10)=2cos(2*5-10)= =2cos0=2;  I=2A. Ответ: 2 Ампера.

Задача№3 (химия): Реакция организма на введенное лекарство может выражаться в повышении кровяного давления, уменьшении температуры тела, изменении пульса или других физиологических показателей. Степень реакции зависит от дозы назначенного лекарства. Y – функция степени реакции. Y= x2(a – x), где а – некоторая постоянная. При каком значении  х реакция максимальна?

Решение: Возьмем производную функции степени реакции Y/=2x(a-x) - x2=2ax-3x2, 2ax-3x2=0; х=0 и х=а. При помощи вспомогательного рисунка определяем максимум  х=а. Ответ: максимальная реакция при х=а.

4. Подведение итогов урока (Рефлексия результативности, настроения)

  • Каким вопросам был посвящен урок?
  • Чему научились на уроке
  • Смогла ли я вам доказать, что изучение математики необходимо для осваивания других наук?

Я вам прочитаю три утверждения, вы подумаете и решите: какое из утверждений вам подходит:

1.Я  хорошо потрудился на уроке, разобрался в методах применения производной к решению различных задач.

  1. Осталось что-то неясно, однако, я научился вычислять производную.
  2. Мне урок не понравился и я для себя ничего нового не узнал.

Теперь я ещё раз прочитаю эти утверждения и вы поднимите свою руку, когда посчитаете нужным.

В заключение урока я хочу вам прочитать стихотворение, которое подведет итог и подтвердит необходимость изучение математики.

“Музыка может возвышать или умиротворять душу,
Живопись – радовать глаз,
Поэзия – пробуждать чувства,
Философия – удовлетворять потребности разума,

Инженерное дело – совершенствовать материальную сторону жизни людей, а математика способна достичь всех этих целей”.

Так сказал американский математик Морис Клайн.